基于混沌的数字图像加密算法

Abstract:目前混沌系统与加密技术相结合是现如今最热门的一个课题，虽然有大量的加密算法面世，但是这些加密算法并不成熟，仍然需要进一步的研究。本文采用像素位置置乱变换和像素值替代变换相结合的加密思想，设计出一种基于混沌的数字图像加密算法。引入了整数域上的逆仿射变换，算法中采用二维 logistic 混沌映射相结合的方法，生成多组混沌序列，像素置乱变换与灰度值替换都由这些混沌序列所控制。多混沌序列产生的密钥空间大于单一的混沌序列所产生的密钥空间，因此本文研究的算法加密强度很高。

1. 虫口模型—Logistic混沌映射。

Logistic映射是一种可产生的非线性系统，其模型如下所示：

图1 Logistic映射分岔图像

clearall 
clc 
m(1)=0.632; 
N=196601; 
m1=[]; 
foru1=2.6:0.02:4 
fori=1:N-1 
m(i+1)=u1*m(i)*(1-m(i)); 
end 
m1=[m1m]; 
end 
plot(m1,'k.')

2. 像素灰度值替代设计图像加密

设图像(i,j)处的灰度值为 I(i,j)，满足 1≤i≤M、1≤j≤N，I′(i,j)表示替换后 I(i,j)在(i,j)处的灰度值。本文中，像素值的替代变换是在空域中进行的，我们设计了两种思路用于实现混沌序列与像素值的替换操作。

像素替换的公式如下:

I′(i,j)=((r1(i,j)⊕I(i,j)⊕r2(i,j)+L−r3(ij)))modL)mod256

式中：L表示图像的颜色深度;mod表示求模运算;⊕表示按位异或运算。r1,r2,r3表示的是混沌序列值，替换变换的密钥由r1,r2,r3对应的混沌系统提供，变换可多次进行，如此加密效果更好。设重复次数为n，与混沌模型的初值和参数共同作为这一部分的密钥，增大了密钥的空间，提高了加密强度。若图像很大时，通过上式能够看出r1,r2,r3模版矩阵需要随之增大，如此就大大减小了加密效率。为此，我们可以通过分块处理的方式对图像进行加密，加密效率明显提高。图2是原始图像和加密后的图像:

图2 原始图像和加密后的图像

jiami.m

functione=jiami(x,data) 
m(1)=data(1); 
m1(1)=data(2); 
m2(1)=data(3); 
[a,b]=size(x); 
N=a*b; 
u1=data(4); 
%u=4; 
fori=1:N-1 
m(i+1)=u1*m(i)*(1-m(i)); 
end 
m=mode(255*m,256); 
m=uint8(m); 
u2=data(5); 
fori=1:N-1 
m1(i+1)=u2*m1(i)*(1-m1(i)); 
end 
m1=mode(255*m1,256); 
m1=uint8(m1); 
u3=data(6); 
fori=1:N-1 
m2(i+1)=u3*m2(i)*(1-m2(i)); 
end 
sigma=data(7); 
m2=mode(255*m2,256); 
m2=uint8(m2); 
%n=1; 
n=data(8); 
x=double(x); 
m=double(m); 
m1=double(m1); 
m2=double(m2); 
fori=1:a 
forj=1:b 
e(i,j)=m(n)+m1(n); 
e(i,j)=bitxor(e(i,j),m2(n)); 
e(i,j)=e(i,j)+x(i,j); 
e(i,j)=mod(e(i,j),255); 
nn=n+1; 
end 
end

main.m

x=imread('lena.png'); 
x=double(x(:,:,1)); 
r=input('请输入加密密钥key1：'); 
e=jiami(x,r); 
subplot(121); 
imshow(x,[]); 
title('原始图像'); 
subplot(122); 
imshow(e,[]); 
title('加密图像');

密钥为[0.343 0.432 0.63 3.769 3.82 3.85 0.1 1]八位

#p#

3. 加密图像解密

解密是加密的逆，公式如下：

I(i,j)=(r1(i,j)⊕(I′(i,j)+r3(i,j))modL)⊕r2(i,j))mod256

jiemi1.m

functionkk=jiemi1(e,data) 
e=double(e); 
[a,b]=size(e); 
e=floor(e); 
m3(1)=data(1); 
m4(1)=data(2); 
m5(1)=data(3); 
u1=data(4); 
N=a*b; 
fori=1:N-1 
m3(i+1)=u1*m3(i)*(1-m3(i)); 
end 
m3=mode(255*m3,256); 
m3=uint8(m3); 
u2=data(5); 
fori=1:N-1 
m4(i+1)=u2*m4(i)*(1-m4(i)); 
end 
m4=mode(255*m4,256); 
m4=uint8(m4); 
u3=data(6); 
fori=1:N-1 
m5(i+1)=u3*m5(i)*(1-m5(i)); 
end 
m5=mode(255*m5,256); 
m5=uint8(m5); 
sigma=data(7); 
n=data(8); 
m3=double(m3); 
m4=double(m4); 
m5=double(m5); 

fori=1:a 
forj=1:b 
kk(i,j)=m3(n)+m4(n); 
kk(i,j)=bitxor(kk(i,j),m5(n)); 
kk(i,j)=e(i,j)-kk(i,j); 
kk(i,j)=mod(kk(i,j),255); 
nn=n+1; 
end 
end

函数调用形式

kk=jiemi1(e,r);

%e为加密图像，r为密钥，为8位

图3是解密过程:

图3 解密图像

由图可以知道，错误的密钥是解密错误的，只有正确的密钥才能解密出原始图像，而且密钥的精确度非常高，能到小数点后几位。